Question

设a为实数，函数f(x)＝2x2＋(x－a)·|x－a|.

(1)若f(0)≥1，求a的取值范围；

(2)求f(x)的最小值；

(3)设函数h (x)＝f(x)，x∈(a，＋∞)，直接写出(不需给出步骤)不等式h(x)≥1的解集．

 

Answer 1

【答案】

略

【解析】解：(1)因为f(0)＝－a|－a|≥1，所以－a>0，即a<0.由a2≥1知a≤－1.因此，a的取值范围为(－∞，－1]．

(2)记f(x)的最小值为g(a)．则有f(x)＝2x2＋(x－a)|x－a|

＝

(ⅰ)当a≥0时，f(－a)＝－2a2，由①②知f(x)≥－2a2，此时g(a)＝－2a2.

(ⅱ)当a<0时，f()＝a2.若x>a，则由①知f(x)≥a2；

若x≤a，则x＋a≤2a<0，由②知f(x)≥2a2>a2.此时g(a)＝a2.

综上，得g(a)＝

(3)(ⅰ)当a∈(－∞，－]∪[，＋∞)时，解集为(a，＋∞)；

(ⅱ)当a∈[－，)时，解集为[，＋∞)；

(ⅲ)当a∈(－，－)时，解集

为(a，]∪[，＋∞)．