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在直角坐标系xoy中线段AB与y轴垂直,其长度为2,AB的中点C在直线x+2y-4=0上,则∠AOB的最大值为______.
如图所示.
由题意可设A(a,b),B(2+a,b),则线段AB的中点C(a+1,b).
∵AB的中点C在直线x+2y-4=0上,∴a+1+2b-4=0,化为a+2b=3.
①当a=0时,b=
3
2
.此时A(0,
3
2
)
,B(2,
3
2
)

可得tan∠AOB=
|AB|
|OA|
=
2
3
2
=
4
3

②当a=-2时,b=
5
2
.此时A(-2,
5
2
)
,B(0,
5
2
)

可得tan∠AOB=
|AB|
|OA|
=
2
5
2
=
4
5

③当b=0时,a=3.此时A(3,0),B(5,0).
可得tan∠AOB=0.
④当a≠0,-2且b≠0时,此时kOA=
b
a
kOB=
b
2+a

当b>0时,可得tan∠AOB=
kOA-kOB
1+kOAkOB
=
b
a
-
b
2+a
1+
b
a
b
2+a
=
2b
a(2+a)+b2
=
2b
(3-2b)(5-2b)+b2
=
2
5b+
15
b
-16

tan∠AOB≤
2
2
5b•
15
b
-16
=
1
5
3
-8
=
5
3
+8
11
,当且仅当b=
3
,a=3-2
3
时取等号.
当b<0时,tan∠AOB=
2
16-5b-
15
b
1
8+5
3

综上可知:只有当a=3-2
3
时,b=
3
.可得tan∠AOB的最大值
5
3
+8
11

故答案为:arctan
5
3
+8
11

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