Question

设f（x）=3ax²+2bx+c．若a+b+c=0，f（0）＞0，f（1）＞0，求证：
（Ⅰ）a＞0且-2＜

b

a

＜-1；
（Ⅱ）方程f（x）=0在（0，1）内有两个实根．

Answer 1

分析：（I）先将f（0）＞0，f（1）＞0，利用函数式中的a，b，c进行表示，再结合等式关系利用不等式的基本性质即可得到a和

a

b

的范围即可．
（II）欲证明方程f（x）=0在（0，1）内有两个实根，根据根的存在性定理，只须证明某一个函数值小于0即可，最后只须证明在二次函数顶点处的函数值小于0即可．

解答：解：证明：（I）因为f（0）＞0，f（1）＞0，
所以c＞0，3a+2b+c＞0．
由条件a+b+c=0，消去b，得a＞c＞0；
由条件a+b+c=0，消去c，得a+b＜0，2a+b＞0．
故-2＜

b

a

＜-1．
（II）抛物线f（x）=3ax²+2bx+c的顶点坐标为(-

b

3a

，

3ac-b2

3a

)，
在-2＜

b

a

＜-1的两边乘以-

1

3

，得

1

3

＜-

b

3a

＜

2

3

．
又因为f（0）＞0，f（1）＞0，
而f(-

b

3a

)=-

a2+c2-ac

3a

＜0，
所以方程f（x）=0在区间(0，-

b

3a

)与(-

b

3a

，1)内分别有一实根．
故方程f（x）=0在（0，1）内有两个实根．

点评：本题主要考查二次函数的基本性质与不等式的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．