Question

已知圆C：x²+y²+2x-4y+3=0，从圆C外一点P（x，y）向圆C引切线PM，M为切点，
有PM=PO，（O为坐标原点），求：
（Ⅰ）点P的坐标应满足什么关系？
（Ⅱ）PM的最小值及取得最小值时点P的坐标．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据圆切线垂直于过切点的半径，得到三角形CPM为直角三角形，根据勾股定理表示出点P的轨迹方程，
（Ⅱ）由轨迹方程得到动点P的轨迹为一条直线，所以|PM|的最小值就是|PO|的最小值，求出原点到P轨迹方程的距离即为|PO|的最小值，然后利用两点间的距离公式表示出P到O的距离，把P代入动点的轨迹方程，两者联立即可此时P的坐标．

解答：解：（Ⅰ）∵PM=PO，∴（x+1）²+（y-2）²-2=x²+y²，即2x-4y+3=0，
点P的坐标应满足的关系是2x-4y+3=0．
（Ⅱ）∵PM=PO，要使PM最小，即求PO最小，由2x-4y+3=0得x=2y-

3

2

PO2=x2+y2=(2y-

3

2

)2+y2=5(y-

3

5

)2+

9

4

-

9

5

当y=

3

5

时，POmin=

3

2 5

，此时P的坐标(-

3

10

，

3

5

)

点评：此题考查学生掌握直线与圆相切时所满足的条件，会根据条件求动点的轨迹方程，灵活运用两点间的距离公式化简求值，是一道综合题．