Question

【题目】已知定义域为R的函数f（x）= 是奇函数．
（1）求实数a，b的值；
（2）判断并证明f（x）在（﹣∞，+∞）上的单调性；
（3）若对任意实数t∈R，不等式f（kt2﹣kt）+f（2﹣kt）＜0恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由于定义域为R的函数f（x）= 是奇函数，

则 即 ，解得 ，

即有f（x）= ，经检验成立

（2）解：f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数．

证明：设任意x1＜x2，

f（x1）﹣f（x2）= ﹣ = ，

由于x1＜x2，则2x1＜2x2，则有f（x1）＞f（x2），

故f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数

（3）解：不等式f（kt2﹣kt）+f（2﹣kt）＜0，

由奇函数f（x）得到f（﹣x）=﹣f（x），

f（kt2﹣kt）＜﹣f（2﹣kt）=f（kt﹣2），

再由f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数，

则kt2﹣kt＞kt﹣2，即有kt2﹣2kt+2＞0对t∈R恒成立，

∴k=0或 即有k=0或0＜k＜2，

综上：0≤k＜2

【解析】（1）由奇函数的条件可得 即可得到a，b；（2）运用单调性的定义，结合指数函数的单调性，即可得证；（3）不等式f（kt2﹣kt）+f（2﹣kt）＜0，由奇函数f（x）得到f（﹣x）=﹣f（x），f（kt2﹣kt）＜﹣f（2﹣kt）=f（kt﹣2），再由单调性，即可得到kt2﹣2kt+2＞0对t∈R恒成立，讨论k=0或k＞0，△＜0解出即可．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用奇偶性与单调性的综合的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．