Question

已知数列{a_n}是各项均不为0的等差数列，公差为d，S_n为其前n项和，且满足

a

2 n

=S2n-1，n∈N*．数列{b_n}满足bn=

1

an•an+1

，T_n为数列{b_n}的前n项和．
（I）求a₁，d和T_n；
（II）若对任意的n∈N^*，不等式λTn＜n+8•(-1)n恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（I）在

a

2 n

=S2n-1中，令n=1，n=2，得

a12=a1 (a1+d)2=3a1+3d

，解得a_n=2n-1，由足bn=

1

an•an+1

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，能求出a₁，d和T_n．
（II）当n为偶数时，要使不等式λTn＜n+8•(-1)n恒成立，即需不等式λ＜

(n+8)(2n+1)

n

=2n+

8

n

+17恒成立．由此解得λ＜25；当n为奇数时，要使不等式λTn＜n+8•(-1)n恒成立，需不等式λ＜

(n-8)(2n+1)

n

=2n-

8

n

-15恒成立，解得λ＜-21．由此能够求出λ的取值范围．

解答：解：（I）在

a

2 n

=S2n-1中，令n=1，n=2，
得

a12=S1 a22=S3

，即

a12=a1 (a1+d)2=3a1+3d

，
解得a₁=1，d=2，（3分）

∴an=2n-1. ∵bn= 1 anan+1 = 1 (2n-1)(2n+1) = 1 2 ( 1 2n-1 - 1 2n+1 )， ∴Tn= 1 2 (1- 1 3 + 1 3 - 1 5 +…+ 1 2n-1 - 1 2n+1 )= n 2n+1 ．…(6分)

（II）（1）当n为偶数时，要使不等式λTn＜n+8•(-1)n恒成立，
即需不等式λ＜

(n+8)(2n+1)

n

=2n+

8

n

+17恒成立．
∵2n+

8

n

≥8，等号在n=2时取得．
∴此时λ需满足λ＜25．（8分）
（2）当n为奇数时，要使不等式λTn＜n+8•(-1)n恒成立，
即需不等式λ＜

(n-8)(2n+1)

n

=2n-

8

n

-15恒成立．
∵2n-

8

n

是随n的增大而增大，
∴n=1时2n-

8

n

取得最小值-6．
∴此时λ需满足λ＜-21．（10分）
综合（1）（2）可得λ＜-21
∴λ的取值范围是{λ|λ＜-21}．（12分）

点评：本题考查等差数列的首项、公差的求法，考查数列前n项和的求法，考查实数的取值范围的求法，考查数列与不等式的综合运用．解题时要认真审题，注意迭代法、裂项求和法、等价转化法的合理运用．