Question

13．已知n为正整数，在二项式（${\frac{1}{2}$+2x）ⁿ的展开式中，若前三项的二项式系数的和等于79．
（1）求n的值；
（2）判断展开式中第几项的系数最大？

Answer 1

分析 （1）根据题意列出方程${C}_{n}^{0}$+${C}_{n}^{1}$+${C}_{n}^{2}$=79，解方程即可；
（2）设该二项式的展开式中第k+1项的系数最大，由此列出不等式组，解不等式组即可求出k的值．

解答 解：（1）根据题意，${C}_{n}^{0}$+${C}_{n}^{1}$+${C}_{n}^{2}$=79，
即1+n+$\frac{n（n-1）}{2}$=79，
整理得n²+n-156=0，
解得n=12或n=-13（不合题意，舍去）
所以n=12；…（5分）
（2）设二项式${（\frac{1}{2}+2x）}^{12}$=${（\frac{1}{2}）}^{12}$•（1+4x）¹²的展开式中第k+1项的系数最大，
则有$\left\{{\begin{array}{l}{C_{12}^k•{4^k}≥C_{12}^{k-1}•{4^{k-1}}}\\{C_{12}^k•{4^k}≥C_{12}^{k+1}•{4^{k+1}}}\end{array}}\right.$，
解得9.4≤k≤10.4，
所以k=10，
所以展开式中第11项的系数最大．…（10分）

点评 本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了转化思想与不等式组的解法问题，是综合性题目．