Question

8．已知双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的一个焦点与抛物线y²=8x的焦点相同，且经过点（2，3）．
（Ⅰ）求双曲线C的标准方程和其渐近线方程；
（Ⅱ）设直线l经过点（0，-1），且斜率为k．求直线l与双曲线C有两个公共点时k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）法一：求出双曲线的焦点坐标，利用双曲线定义求出a，然后求双曲线C的方程，渐近线方程．
法二：利用已知条件列出方程组，求出a，b，然后求双曲线C的方程，渐近线方程．
（Ⅱ）联立$\left\{\begin{array}{l}y=kx-1\\ 3{x^2}-{y^2}=3\end{array}\right.$利用△＞0，求出-2＜k＜2，结合渐近线求解k的范围即可．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）法一：由已知，双曲线的焦点为（-2，0）和（2，0）…（1分）
据定义有：$2a=|\sqrt{{{（2+2）}^2}+{{（3-0）}^2}}-\sqrt{{{（2-2）}^2}+{{（3-0）}^2}}|=2⇒a=1$…（2分）
故a²=1，c²=4，b²=3，从而所求双曲线C的方程为${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$．…（4分）
其渐近线方程为：$y=±\sqrt{3}x$…（6分）
法二：由$\left\{\begin{array}{l}\frac{4}{a^2}-\frac{9}{b^2}=1\\{a^2}+{b^2}=4\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}{a^2}=1\\{b^2}=3\end{array}\right.$，故所求双曲线C的方程为${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$…（4分）
其渐近线方程为：$y=±\sqrt{3}x$…（6分）
（Ⅱ）由$\left\{\begin{array}{l}y=kx-1\\ 3{x^2}-{y^2}=3\end{array}\right.$得：（3-k²）x²+2kx-4=0…（8分）
当3-k²≠0，即$k≠±\sqrt{3}$时，…（9分）
若△＞0，即△=4k²-4（-4）（3-k²）=12（4-k²）＞0⇒4-k²＞0⇒-2＜k＜2时，
直线与双曲线相交，有两个公共点；…（11分）
所以，当-2＜k＜2，且$k≠±\sqrt{3}$时，直线与双曲线有两个公共点．…（12分）

点评 本题考查双曲线的简单性质以及双曲线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．