Question

若a＞2，则函数f（x）=x³-3ax+3在区间（0，2）上零点的个数为

1. A.
   0个
2. B.
   1个
3. C.
   2个
4. D.
   3个

Answer 1

B
分析：根据a＞2，分析导函数的符号，确定函数的单调性，验证f（0），f（2）的符号，结合图象可知函数f（x）=x³-3ax+3 在（0，2）上的零点个数．
解答：解：∵函数f（x）=x³-3ax+3
∴f′（x）=3x²-3a=3（x²-a）=3（x+）（x-），
∵a＞2，
令f′（x）＞0得x＞，得函数f（x）在（，+∞）上是增函数，
令f′（x）＜0可得0＜x＜，得函数f（x）在（0，）上是减函数，
而f（0）=3＞0，f（）=（）³-3a+3=3-2a＜0，
∴函数f（x）=x³-3ax+3在（0，）上零点有一个．
又f（2）=2³-3a×2+3=11-6a＜0，
∴函数f（x）=x³-3ax+3在（，2）上没有零点．
则函数f（x）=x³-3ax+3在区间（0，2）上零点的个数为1，
故选B．
点评：此题是基础题．考查函数零点的判定定理，以及利用导数研究函数的单调性，考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．