Question

已知点的序列A_n(x_n，0),n∈N,其中x₁=0,x₂=a(a＞0),A₃是线段A₁A₂的中点，A₄是线段A₂A₃的中点，…，A_n是线段A_n－2A_n－1的中点，….
(1)写出x_n与x_n－1、x_n－2之间关系式(n≥3);
(2)设a_n=x_n+1－x_n，计算a₁,a₂,a₃，由此推测数列{a_n}的通项公式，并加以证明；
(3)求x_n

Answer 1

(1) x_n=; (2) a_n=(－)^n-1a(n∈N) ，(3)a

 (1)当n≥3时，x_n=;

由此推测a_n=(－)^n-1a(n∈N)
证法一:因为a₁=a＞0,且
 (n≥2)
所以a_n=(－)^n-1a 
证法二: 用数学归纳法证明:
(ⅰ)当n=1时，a₁=x₂－x₁=a=(－)⁰a,公式成立；
(ⅱ)假设当n=k时，公式成立，即a_k=(－)^k－1a成立.
那么当n=k+1时，
a_k+1=x_k+2－x_k+1=

据(ⅰ)(ⅱ)可知，对任意n∈N，公式a_n=(－)^n-1a成立.
(3)当n≥3时，有
x_n=(x_n－x_n－1)+(x_n－1－x_n－2)+…+(x₂－x₁)+x₁=a_n－1+a_n－2+…+a₁,
由(2)知{a_n}是公比为－的等比数列，所以a.