Question

已知命题α：x₁和x₂是方程x2-mx-

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4

=0的两个实根，不等式a²-a-3≤|x₁-x₂|对任意实数m∈[-1，1]恒成立；命题β：不等式ax²+2x-1＞0有解．
（Ⅰ）若命题α是真命题，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若命题α是真命题且命题β是假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由x₁，x₂是方程x2-mx-

9

4

=0的两个实根，知

x1+x2=m x1•x2=- 9 4

，故|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

m2+9

，由此能求出命题α为真命题时，a的取值范围．
（Ⅱ）命题β：不等式ax²+2x-1＞0有解时，a＞-1．又命题β是假命题，故a≤-1．由此能求出命题α是真命题且命题β是假命题时，a的取值范围．

解答：（本小题12分）
解：（Ⅰ）∵x₁，x₂是方程x2-mx-

9

4

=0的两个实根，
∴

x1+x2=m x1•x2=- 9 4

，
∴|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

m2+9

，
∴当m∈[-1，1]时，|x₁-x₂|_min=3，
由不等式a²-a-3≤|x₁-x₂|对任意实数m∈[-1，1]恒成立，
可得a²-a-3≤3，∴-2≤a≤3，
∴命题α为真命题时，a的取值范围为-2≤a≤3；…（5分）
（Ⅱ）命题β：不等式ax²+2x-1＞0有解，
①当a＞0时，显然有解；
②当a=0时，2x-1＞0有解；
③当a＜0时，∵ax²+2x-1＞0有解，
∴△=4+4a＞0，∴-1＜a＜0，
从而命题β：不等式ax²+2x-1＞0有解时，a＞-1．
又命题β是假命题，∴a≤-1．
故命题α是真命题且命题β是假命题时，
a的取值范围为-2≤a≤-1．…（12分）

点评：本题考查命题的真假判断的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想、等价转化思想的合理运用．