Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1﹙a＞0，b＞0﹚，F₁，F₂是其左右焦点，若椭圆的离心率为

1

2

，椭圆的焦点到相应准线的距离为3，
（1）求椭圆的标准方程；
（2）椭圆上是否存在一点M，使点M到其左准线的距离MN是MF₁，MF₂的等比中项？若存在，求出该点的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由题设条件推导出

c a = 1 2 a2 c -c=3

，由此能求出椭圆的标准方程．
（2）解决此类存在性问题是先假设存在适合题意的点，然后进行推理，看能不能推出矛盾．题中涉及到与焦点F₁、F₂的距离，可考虑应用椭圆的两个定义．

解答： 解：（1）∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1﹙a＞0，b＞0﹚，F₁，F₂是其左右焦点，
椭圆的离心率为

1

2

，椭圆的焦点到相应准线的距离为3，
∴

c a = 1 2 a2 c -c=3

，解得a=2，c=1，∴b=

3

，
∴椭圆的标准方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）设|MN|=t（t＞0），由椭圆的第二定义知|MF₁|MN=e|MN|=et，
又由椭圆第一定义知|MF₁|+|MF₂|=2a，
∴|MF₂|=2a-et，
若点M存在，则|MN|²=|MF₁|•|MF₂|，
∴t²=et•（2a-et），
∵t≠0，∴t=

2ae

1+e2

=

2×2× 1 2

1+ 1 4

=

8

5

，
∵椭圆C上有点到左准线的最短距离是椭圆左顶点到左准线的距离，
即

a2

c

-a=4-2=2，
而|MN|=t=

8

5

＜2，
∴点M不存在．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查点的存在性问题的确定，解题时要认真审题，注意椭圆的两个定义的灵活运用．