Question

已知椭圆方程

x2

a2

+

y2

2a-1

=1(1＜a≤5)，过其右焦点做斜率不为0的直线l与椭圆交于A，B两点，设在A，B两点处的切线交于点M（x₀，y₀），则M点的横坐标x₀的取值范围是（　　）

• A．[4，+∞）
• B．[4，

  25

  4

  ]
• C．(4，

  25

  4

  ]
• D．(4，

  25

  4

  )

Answer 1

分析：依题意，a²-（2a-1）=（a-1）²＞0，椭圆

x2

a2

+

y2

2a-1

=1（1＜a≤5）的焦点在x轴，作图可知，当过右焦点的直线l垂直于x轴时，M点的横坐标x₀最小，求得此时的椭圆的切线方程，即可求得M点的横坐标x（即x₀），从而可求其值（即最小值），当l绕右焦点F顺时针旋转时，x₀的取值越来越大，直至无穷．

解答：解：依题意，a²-（2a-1）=（a-1）²＞0，
∴方程为

x2

a2

+

y2

2a-1

=1（1＜a≤5）的椭圆的焦点在x轴，
作图如右：
由图知，当l过其右焦点且垂直于x轴时，M点的横坐标x₀最小，
∵F（a-1，0），
∴AB⊥x轴时，l的方程为x=a-1，
由

x2 a2 + y2 2a-1 =1 x=a-1

得：A（a-1，

2a-1

a

），B（a-1，-

2a-1

a

）（1＜a≤5），
∵过A（a-1，

2a-1

a

）点的椭圆的切线方程为：

a-1

a2

x+

2a-1 a

b2

y=1，
∴令y=0，得x=

a2

a-1

=

[(a-1)+1]2

a-1

=（a-1）+

1

a-1

+2，
∵1＜a≤5，
∴x=（a-1）+

1

a-1

+2≥4（当且仅当a=2时取“=”）．
∴x≥4．
当l绕右焦点F顺时针旋转时，x₀的取值越来越大，直至无穷．
∴M点的横坐标x₀的取值范围是[4，+∞）．
故选：A．

点评：本题考查椭圆的性质，着重考查椭圆与直线方程的综合应用，属于难题．