Question

9．设0＜α＜π，0＜β＜π，$\overrightarrow{a}$=（cosα，sinα），$\overrightarrow{b}$=（1-cosβ，sinβ），且$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\frac{3}{2}$-cosβ
（Ⅰ）求$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角θ
（Ⅱ）求α、β的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）令$\frac{α+β}{2}=x，\frac{α-β}{2}=y$，得α=x+y，β=x-y，代入$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\frac{3}{2}$-cosβ后可得$-2（cosx-\frac{cosy}{2}）^{2}+\frac{co{s}^{2}y}{2}$=$\frac{1}{2}$，由三角函数的有界性得到cosx=$\frac{1}{2}$，cosy=1，由此求得x，y的值，进一步得到α、β的值，再代入数量积求夹角公式求$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角θ；
（Ⅱ）直接由（Ⅰ）中得答案．

解答 解：（Ⅰ）令$\frac{α+β}{2}=x，\frac{α-β}{2}=y$，则 α+β=2x，α-β=2y，
α=x+y，β=x-y，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=cosα-cosαcosβ+sinαsinβ=cosα-cos（α+β），
由$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\frac{3}{2}$-cosβ，整理可得2cosxcosy-2cos²x=$\frac{1}{2}$，
但2cosxcosy-2cos²x=$-2（cosx-\frac{cosy}{2}）^{2}+\frac{co{s}^{2}y}{2}$，
∴$-2（cosx-\frac{cosy}{2}）^{2}+\frac{co{s}^{2}y}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∵$-2（cosx-\frac{cosy}{2}）^{2}≤0$，而 cos²y≤1，
∴$-2（cosx-\frac{cosy}{2}）^{2}+\frac{co{s}^{2}y}{2}$≤$\frac{1}{2}$，
∴最大值被达到时，有cosx-$\frac{cosy}{2}=0$，cosy=1，
即cosx=$\frac{1}{2}$，cosy=1，
而0＜α，β＜π，∴0＜x＜π，-$\frac{π}{2}$＜y＜$\frac{π}{2}$，
∴x=$\frac{π}{3}$，y=0，
可得：α=β=$\frac{π}{3}$，
∴$\overrightarrow{a}$=（$\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{b}$=（$\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$），
则cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}=\frac{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}{1×1}=1$，
即θ=0；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知α=β=$\frac{π}{3}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查学生的灵活变形能力和逻辑思维能力，而令$\frac{α+β}{2}=x，\frac{α-β}{2}=y$进行转化运算是该题的难点所在，该题属难度较大的题目．