Question

已知数列{log₂（a_n-1）}（n∈N^*）为等差数列，且a₁=3，a₂=5，则（++…+）=（ ）
A．2
B．
C．1
D．

Answer 1

【答案】分析：根据题意，数列{log₂（a_n-1）}（n∈N^*）为等差数列，设其公差为d，则log₂（a_n-1）-log₂（a_n-1-1）=d，由对数的运算性质可得，=2^d，又由a₁=3，a₂=5，可得=2，则可得{a_n-1}是以a₁-1=2为首项，公比为2的等比数列，进而可得a_n=2ⁿ+1，结合题意有a_n-a_n-1=2ⁿ-2^n-1=2^n-1，代入可得答案．
解答：解：数列{log₂（a_n-1）}（n∈N^*）为等差数列，
设其公差为d，则log₂（a_n-1）-log₂（a_n-1-1）=d，
即=2^d，又由a₁=3，a₂=5，
则d=1，即=2，
{a_n-1}是以a₁-1=2为首项，公比为2的等比数列，
进而可得，a_n-1=2ⁿ，则a_n=2ⁿ+1，
故a_n-a_n-1=2ⁿ-2^n-1=2^n-1，
则（++…+）=（++…+）=1，
故选C．
点评：本题考查等差、等比数列的性质与极限的运算，注意与对数函数或指数函数的结合运用时，往往同时涉及等比、等差数列的性质，是一个难点．