Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）的导函数为f′（x），且f（-x）=f（x），f（1）=1，f′（-1）=-2．数列{a_n}满足a₁=1，且当n≥2，n∈N^*时，a_n=n²[

1

f(1)

+

1

f(2)

+…+

1

f(n-1)

]．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当n≥2且n∈N^*时，比较

1+an

an+1

与

f(n+1)

f(n)

的大小．
（3）比较（1+

1

a1

）（1+

1

a2

）（1+

1

a3

）L（1+

1

an

）与4的大小．

Answer 1

分析：（1）利用由f（-x）=f（x），有b=0，从而f（x）=ax²+c，f（1）=1，f′（-1）=-2，可求a、c的值，从而可求函数表达式；
（2）分别表示出分子、分母，进而可得

1+an

an+1

=

f(n)

f(n+1)

；
（3）将连乘积表示为（1+

1

a1

）（1+

1

a2

）（1+

1

a3

）L（1+

1

an

）=

1+a1

a1

•

1

a2

•

1+a2

a3

•

1+a3

a4

•

1+an

an+1

•an+1 =

2an+1

(n+1)2

=2(1+

1

22

+

1

n2

)，再用裂项求和法，利用

1

n2

＜

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

可得结论．

解答：解：（1）∵f（x）=ax²+bx+c，∴由f（-x）=f（x），有b=0，得f（x）=ax²+c．又f（1）=1，f′（-1）=-2，∴a+c=1，2a×（-1）=-2，∴a=1，c=0，∴f（x）=x²．
（2）∵f（n）=n²，∴an=n2[ 1+

1

22

+…+

1

(n-1)2

)]．，∴1+an=n2[ 1+

1

22

+…+

1

n2

)]，an+1=(n+1)2[ 1+

1

22

+…+

1

n2

)]，∴

1+an

an+1

=

f(n)

f(n+1)

．
（3）由题意可得a₂=4；当n=1时，有1+

1

a1

=2＜4．当n≥2且n∈N^*时，
（1+

1

a1

）（1+

1

a2

）（1+

1

a3

）L（1+

1

an

）=

1+a1

a1

•

1

a2

•

1+a2

a3

•

1+a3

a4

•

1+an

an+1

•an+1 =

2an+1

(n+1)2

=2(1+

1

22

+

1

n2

)＜2[1+(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+(

1

n-1

-

1

n

)]=4-

2

n

＜4（

1

n2

＜

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

）
所以，对任意n∈N^*有（1+

1

a1

）（1+

1

a2

）（1+

1

a3

）L（1+

1

an

）＜4．

点评：本题考查数列与不等式的结合，考查裂项求和、放缩法，有一定的技巧．