Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=1，S_n=na_n-n（n-1）（n∈N₊）
（1）求a_n的表达式；
（2）若数列{

1

anan+1

}的前n项和为T_n，问：满足Tn＞

100

209

的最小正整数n是多少？

Answer 1

分析：（1）当n≥2时，由a_n=S_n-S_n-1=na_n-（n-1）a_n-1-2（n-1），知a_n-a_n-1=2（n≥2），由此能求出a_n．
（2）数列{

1

anan+1

}的前n项和为T_n，由题设推出Tn=

n

2n+1

，故

n

2n+1

＞

100

209

，n＞

100

9

，所以满足Tn＞

100

209

的最小正整数n是12．

解答：解：（1）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=na_n-（n-1）a_n-1-2（n-1）…（2分）
a_n-a_n-1=2（n≥2），
数列{a_n}是以a₁=1为首项，以2为公差的等差数列
∴a_n=2n-1…（6分）
（2）数列{

1

anan+1

}的前n项和为T_n，

Tn= 1 a1a2 + 1 a2a3 +…+ 1 anan+1 = 1 1×3 + 1 3×5 +…+ 1 (2n-1)×(2n+1) = 1 2 [( 1 1 - 1 3 )+( 1 3 - 1 5 )+( 1 5 - 1 7 )+…+( 1 2n-1 - 1 2n+1 )] = 1 2 (1- 1 2n+1 )= n 2n+1

…（10分）
∴

n

2n+1

＞

100

209

，即n＞

100

9

，
∴满足Tn＞

100

209

的最小正整数n是12…（12分）

点评：本题考查数列通项公式的求法，求数列前n项和的应用，综合性强，难度大，是高考的重点题型．解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．