如图,已知的直径,点、为上两点,且,,为弧的中点.将沿直径折起,使两个半圆所在平面互相垂直(如图2).
(1)求证:;
(2)在弧上是否存在点,使得平面?若存在,试指出点的位置;若不存在,请说明理由;
(3)求二面角的正弦值.
(1)证明过程详见解析(2)在弧上存在点,且点为弧的中点;(3)。
解析试题分析:(1)连结CO,则CO⊥AB,证明∠FOB=∠CAB,从而得出OF∥AC;(2)找出弧BD的中点G,证明OG∥AD,由(1)知,OF∥AC,先证明线面平行,在证明面面平行;(3)用三垂线法作出二面角C-AD—B的平面角,再通过解三角形,求出二面角平面角的余弦值,或建立空间直角坐标系,利用向量法证明平行和求二面角.
试题解析:(法一):证明:(1)如右图,连接,
,,
又为弧的中点,,.
(2)取弧的中点,连接,
则,故,
由(1),知平面,故平面平面,
则平面,因此,在弧上存在点,使得平面,且点为弧的中点.
(3)过作于,连.
因为,平面平面,故平面.
又因为平面,故,所以平面,,
则是二面角的平面角,又,,故.
由平面,平面,得为直角三角形,
又,故,可得==,故二面角的正弦值为.
(法二):证明:(1)如图,以所在的直线为轴,以所在的直线为轴,以为原点,作空间直角坐标系,
则,
,
点
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,在直角梯形ABCP中,,D是AP的中点,E,G分别为PC,CB的中点,将三角形PCD沿CD折起,使得PD垂直平面ABCD.(1)若F是PD的中点,求证:AP平面EFG;(2)当二面角G-EF-D的大小为时,求FG与平面PBC所成角的余弦值.
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如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=30°,∠ABC=90°,D为AC中点,于,延长AE交BC于F,将ABD沿BD折起,使平面ABD平面BCD,如图2所示.
(1)求证:AE⊥平面BCD;
(2)求二面角A–DC–B的余弦值.
(3)在线段上是否存在点使得平面?若存在,请指明点的位置;若不存在,请说明理由.
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如图,已知在四棱锥中,底面是矩形,平面,,,是的中点,是线段上的点.
(1)当是的中点时,求证:平面;
(2)要使二面角的大小为,试确定点的位置.
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在四棱锥P-ABCD中,侧面PCD底面ABCD,PDCD,底面ABCD是直角梯形,AB∥DC,,,.
(1)求证:BC平面PBD:
(2)求直线AP与平面PDB所成角的正弦值;
(3)设E为侧棱PC上异于端点的一点,,试确定的值,使得二面角E-BD-P的余弦值为.
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在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2,AA1=a,E,F分别为AD,CD的中点.
(1)若AC1⊥D1F,求a的值;
(2)若a=2,求二面角E-FD1-D的余弦值.
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