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如图,已知的直径,点上两点,且为弧的中点.将沿直径折起,使两个半圆所在平面互相垂直(如图2).

(1)求证:
(2)在弧上是否存在点,使得平面?若存在,试指出点的位置;若不存在,请说明理由;
(3)求二面角的正弦值.

(1)证明过程详见解析(2)在弧上存在点,且点为弧的中点;(3)

解析试题分析:(1)连结CO,则CO⊥AB,证明∠FOB=∠CAB,从而得出OF∥AC;(2)找出弧BD的中点G,证明OG∥AD,由(1)知,OF∥AC,先证明线面平行,在证明面面平行;(3)用三垂线法作出二面角C-AD—B的平面角,再通过解三角形,求出二面角平面角的余弦值,或建立空间直角坐标系,利用向量法证明平行和求二面角.
试题解析:(法一):证明:(1)如右图,连接

为弧的中点,
(2)取弧的中点,连接
,故
由(1),知平面,故平面平面
平面,因此,在弧上存在点,使得平面,且点为弧的中点.
(3)过,连
因为,平面平面,故平面
又因为平面,故,所以平面
是二面角的平面角,又,故
平面平面,得为直角三角形,
,故,可得==,故二面角的正弦值为.
(法二):证明:(1)如图,以所在的直线为轴,以所在的直线为轴,以为原点,作空间直角坐标系



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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

如图,在四棱锥中,底面,点为棱的中点.

(1)证明:
(2)求直线与平面所成角的正弦值;
(3)若为棱上一点,满足,求二面角的余弦值.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

如下图,在三棱锥中,底面,点为以为直径的圆上任意一动点,且,点的中点,且交于点.
(1)求证:
(2)当时,求二面角的余弦值.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

如图,在直角梯形ABCP中,,D是AP的中点,E,G分别为PC,CB的中点,将三角形PCD沿CD折起,使得PD垂直平面ABCD.(1)若F是PD的中点,求证:AP平面EFG;(2)当二面角G-EF-D的大小为时,求FG与平面PBC所成角的余弦值.

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如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=30°,∠ABC=90°,DAC中点,,延长AEBCF,将ABD沿BD折起,使平面ABD平面BCD,如图2所示.

(1)求证:AE⊥平面BCD
(2)求二面角A–DC–B的余弦值.
(3)在线段上是否存在点使得平面?若存在,请指明点的位置;若不存在,请说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

如图,已知在四棱锥中,底面是矩形,平面的中点,是线段上的点.

(1)当的中点时,求证:平面
(2)要使二面角的大小为,试确定点的位置.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

在四棱锥P-ABCD中,侧面PCD底面ABCD,PDCD,底面ABCD是直角梯形,AB∥DC,

(1)求证:BC平面PBD:
(2)求直线AP与平面PDB所成角的正弦值;
(3)设E为侧棱PC上异于端点的一点,,试确定的值,使得二面角E-BD-P的余弦值为

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2,AA1=a,E,F分别为AD,CD的中点.

(1)若AC1⊥D1F,求a的值;
(2)若a=2,求二面角E-FD1-D的余弦值.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

如图,三棱柱中,△ABC是正三角形,,平面平面.

(1)证明:
(2)证明:求二面角的余弦值;
(3)设点是平面内的动点,求的最小值.

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