Question

【题目】[选修4-5：不等式选讲]已知函数f（x）=2|x+1|+|x﹣2|的最小值为m．
（Ⅰ）求实数m的值；
（Ⅱ）若a，b，c均为正实数，且满足a+b+c=m，求证： + + ≥3．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）解：x≤﹣1，f（x）=﹣2x﹣2﹣x+2=﹣3x≥3， ﹣1＜x＜2，f（x）=2x+2﹣x+2=x+4∈（3，6），
x≥2，f（x）=2x+2+x﹣2=3x≥6，
∴m=3；
（Ⅱ）证明：a+b+c=3，由柯西不等式可得（a+b+c）（ + + ）≥（a+b+c）2 ，
∴ + + ≥3
【解析】（Ⅰ）分类讨论，即可求实数m的值；（Ⅱ）a+b+c=3，由柯西不等式可得（a+b+c）（ + + ）≥（a+b+c）2 ， 即可证明结论．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用不等式的证明的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握不等式证明的几种常用方法:常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等．