Question

若x、y、z均为实数，且a=x²-2y+，b=y²-2z+，c=z²-2x+，则a、b、c中是否至少有一个大于零？请说明理由．

Answer 1

解：假设a、b、c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，则a+b+c≤0．
而a+b+c=x²-2y++y²-2z++z²-2x+=（x-1）²+（y-1）²+（z-1）²+π-3，
∵π-3＞0，且无论x、y、z为何实数，
（x-1）²+（y-1）²+（z-1）²≥0，
∴a+b+c＞0．这与a+b+c≤0矛盾．因此，a、b、c中至少有一个大于0．
分析：由题设条件，本题是一个证明至少什么成立的问题，若从正面来证，则需分成几类，故常采用反证法，a、b、c中至少有一个大于零对立面是没有一个大于0．故可假设三者皆小于等于0推出矛盾来．
点评：本题的考点是不等式的证明，本题证明方法是反证法，其特征是先假设命题的否定成立，推证出矛盾说明假设不成立，得出原命题成立．反证法一般适合用来证明正面证明较麻烦，而其对立面包含情况较少的情况．