Question

【题目】已知函数f（x）＝x|x﹣a|+2x（a∈R）．

（1）若函数f（x）在R上单调递增，求实数a的取值范围；

（2）若存在实数a∈[﹣4，4]使得关于x的方程f（x）﹣tf（a）＝0恰有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）﹣2≤a≤2；（2）（1，）．

【解析】

（1）把函数化为分段函数的形式，根据分段函数的单调性可得，解不等式组即可.

（2）由（1）当﹣2≤a≤2时，f（x）在R上是增函数，则关于x的方程f（x）﹣tf（a）＝0不可能有三个不等的实数根；

当a∈（2，4]时，讨论的单调性，当方程f（x）＝tf（a）＝2ta有三个不相等的实根，则2ta∈（2a，），令g（a），使即可，同理再求当a∈[﹣4，﹣2）时即可.

（1）f（x）＝x|x﹣a|+2x，

由f（x）在R上是增函数，则，即﹣2≤a≤2，则a范围为﹣2≤a≤2；

（2）当﹣2≤a≤2时，f（x）在R上是增函数，则关于x的方程f（x）﹣tf（a）＝0不可能有三个不等的实数根；

则当a∈（2，4]时，由f（x），

得x≥a时，f（x）＝x2+（2﹣a）x对称轴x，

则f（x）在x∈[a，+∞）为增函数，此时f（x）的值域为[f（a），+∞）＝[2a，+∞），

x＜a时，f（x）＝﹣x2+（2+a）x对称轴x，

则f（x）在x∈（﹣∞，]为增函数，此时f（x）的值域为（﹣∞，]，

f（x）在x∈[，+∞）为减函数，此时f（x）的值域为（2a，]；

由存在a∈（2，4]，方程f（x）＝tf（a）＝2ta有三个不相等的实根，则2ta∈（2a，），

即存在a∈（2，4]，使得t∈（1，）即可，

令g（a），

只要使t＜（g（a））max即可，而g（a）在a∈（2，4]上是增函数，

g（a）max＝g（4），

故实数t的取值范围为（1，）；

当a∈[﹣4，﹣2）时，由 ，

则f（x）在单调递增，值域为；

在单调递减，值域为；

在单调递增，值域为

由存在a∈[﹣4，﹣2），方程f（x）＝tf（a）＝2ta有三个不相等的实根，

则，即

令，只要使即可，

而在a∈[﹣4，﹣2）单调递减，

所以t的取值范围为（1，）；

综上所述，实数t的取值范围为（1，）．