Question

5．已知a₁=3，a_n+1=$\frac{3n-1}{3n+2}$a_n+2（n≥1），求a_n．

Answer 1

分析 化简可得（3n+2）a_n+1-（3n-1）a_n=2（3n+2），从而利用叠加法求和即可．

解答 解：∵a_n+1=$\frac{3n-1}{3n+2}$a_n+2，
∴（3n+2）a_n+1=（3n-1）a_n+2（3n+2），
∴（3n+2）a_n+1-（3n-1）a_n=2（3n+2），
∴（3+2）a₂-（3-1）a₁=2（3+2），（1）
（6+2）a₃-（6-1）a₂=2（6+2），（2）
…
（3n-1）a_n-（3n-4）a_n-1=2（3n-1），（n-1）
（1）+（2）+…+（n-1）得，
（3n-1）a_n-2a₁=2$\frac{5+3n-1}{2}$（n-1），
即（3n-1）a_n-6=（3n+4）（n-1），
故a_n=$\frac{（3n+4）（n-1）+6}{3n-1}$=$\frac{3{n}^{2}+n+2}{3n-1}$，
a₁=3对于a_n=$\frac{3{n}^{2}+n+2}{3n-1}$也成立，
故a_n=$\frac{3{n}^{2}+n+2}{3n-1}$．

点评 本题考查了数列的通项公式的求法及叠加法的应用，属于中档题．