Question

已知数列{a_n}的首项a1=

3

5

，an+1=

3an

2an+1

，n=1，2，…．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明：对任意的x＞0，an≥

1

1+x

-

1

(1+x)2

(

2

3n

-x)，n=1，2，…；
（Ⅲ）证明：a1+a2+…+an＞

n2

n+1

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题设条件知

1

an+1

-1=

1

3

(

1

an

-1)，再由

1

an

-1=

2

3

，知(

1

an

-1)是以

2

3

为首项，

1

3

为公比的等比数列．由此可知an=

3n

3n+2

．
（Ⅱ）由题意知an=

3n

3n+2

＞0，

1

1+x

-

1

(1+x)2

(

2

3n

-x)=

1

1+x

-

1

(1+x)2

(

2

3n

+1-1-x)=-

1

an

(

1

1+x

-an)2+an≤a_n，所以对任意的x＞0，an≥

1

1+x

-

1

(1+x)2

(

2

3n

-x)，n=1，2，…．
（Ⅲ）由题意知，对任意的x＞0，有a1+a2++an≥

1

1+x

-

1

(1+x)2

(

2

3

-x)+

1

1+x

-

1

(1+x)2

(

2

32

-x)++

1

1+x

-

1

(1+x)2

(

2

3n

-x)=

n

1+x

-

1

(1+x)2

(

2

3

+

2

32

++

2

3n

-nx)．由此入手能够求出a1+a2+…+an＞

n2

n+1

．

解答：解：（Ⅰ）∵an+1=

3an

2an+1

，∴

1

an+1

=

2

3

+

1

3an

，
∴

1

an+1

-1=

1

3

(

1

an

-1)，
又

1

an

-1=

2

3

，
∴(

1

an

-1)是以

2

3

为首项，

1

3

为公比的等比数列．
∴

1

an

-1=

2

3

•

1

3n-1

=

2

3n

，∴an=

3n

3n+2

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an=

3n

3n+2

＞0，

1

1+x

-

1

(1+x)2

(

2

3n

-x)=

1

1+x

-

1

(1+x)2

(

2

3n

+1-1-x)=

1

1+x

-

1

(1+x)2

[

1

an

-(1+x)]=-

1

an

•

1

(1+x)2

+

2

1+x

=-

1

an

(

1

1+x

-an)2+an≤a_n，
∴原不等式成立．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，对任意的x＞0，有a1+a2++an≥

1

1+x

-

1

(1+x)2

(

2

3

-x)+

1

1+x

-

1

(1+x)2

(

2

32

-x)++

1

1+x

-

1

(1+x)2

(

2

3n

-x)=

n

1+x

-

1

(1+x)2

(

2

3

+

2

32

++

2

3n

-nx)．
∴取x=

1

n

(

2

3

+

2

32

++

2

3n

)=

2 3 (1- 1 3n )

n(1- 1 3 )

=

1

n

(1-

1

3n

)，
则a1+a2++an≥

n

1+ 1 n (1- 1 3n )

=

n2

n+1- 1 3n

＞

n2

n+1

．∴原不等式成立．

点评：本题考查数列的性质和应用，难度较大，解题时要注意挖掘题设中的隐含条件．