Question

如图，三角形ABC中，cos∠ABC=

1

3

，AB=2，点D在线段AC上，且AD=2DC=2x，．
（1）求BC的长；
（2）求三角形BDC的面积．

Answer 1

分析：（1）通过余弦定理求出x与a的方程，然后分别求出∠ADB与∠BDC的余弦值，推出a与c的关系，然后求BC的长；
（2）通过三角形BDC的面积转化求三角形ABC的面积，求解即可．

解答：解：（1）设BC=a，则在△ABC中，由余弦定理可得AC²=AB²+BC²-2AB•BCcos∠ABC
得9x2=a2+4-

4

3

a①…（2分）
在△ABD和△DBC中，由余弦定理可得cos∠ADB=

4x2+ 16 3 -4

16 3 3 x

，…（4分）
cos∠BDC=

x2+ 16 3 -a2

8 3 3 x

．…（6分）
因为∠ADB+∠BDC=π，所以cos∠ADB=-cos∠BDC，
即

4x2+ 16 3 -4

16 3 3 x

=-

x2+ 16 3 -a2

8 3 3 x

，
所以3x²-a²=-6②…（8分）
由①②可得a=3，x=1，即BC=3．                  …（10分）
（2）由（1）得S△ABC=

1

2

AB×BC×sin∠ABC=

1

2

×2×3×

2 2

3

=2

2

，
所以S△DBC=

1

3

S△ABC=

2 2

3

．                        …（14分）
（注：也可以设

BA

=

a

，

BC

=

b

，所以

BD

=

1

3

a

+

2

3

b

，用向量法解决；具体过程略）

点评：本题考查三角形中余弦定理的应用，考查转化思想，计算能力．