Question

（2007•温州一模）已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁（如图），若AB=BC=3，AA₁=6，且AB⊥BC．
（Ⅰ）求点B到平面AA₁C₁C的距离；
（Ⅱ）设D为BB₁中点，求平面A₁CD与底面A₁B₁C₁所成二面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）过B作BH⊥AC于H，根据面ABC⊥面AA₁C₁C，可知BH⊥面AA₁C₁C，从而BH为点B到平面AA₁C₁C的距离，故可求；
（2）以B₁点为原点，建立如图所示空间直角坐标系，分别求出半平面的法向量，进而利用夹角公式可求．

解答：解：（1）过B作BH⊥AC于H，
在直三棱柱中，面ABC⊥面AA₁C₁C
∴BH⊥面AA₁C₁C，即BH为点B到平面AA₁C₁C的距离；
∵AB⊥BC，AB=BC=3，
∴AC=3

2

，
利用等面积可得BH=

3 2

2

∴点B到平面AA₁C₁C的距离等于

3 2

2

  

（2）以B₁点为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则A₁（3，0，0），C（0.3.6）．D（0，0，3）；

A1C

=(-3，3，6)，

A1D

=(-3，0，3)
设面A₁DC的法向量为

n1

=(x，y，z)
则

n1 • A1C =-3x+3y+6z=0 n1 • A1D =-3x+3z=0

，∴

n1

=(1，-1，1)
又面A₁B₁C₁的一个法向量为

BB1

=(0.0，6)
∴cos＜

n1

，

BB1

＞=

3

3

，
∴平面A₁CD与底面A₁B₁C₁所成二面角的余弦值

3

3

．

点评：本题以直三棱柱为载体，考查点面距离，考查面面角，关键是空间直角坐标系的建立．