Question

请认真阅读下列程序框图：
已知程序框图x_i=f（x_i-1）中的函数关系式为f(x)=

4x-2

x+1

，程序框图中的D为函数f（x）的定义域，把此程序框图中所输出的数x_i组成一个数列{x_n}．
（1）若输入x0=

49

65

，请写出数列{x_n}的所有项；
（2）若输出的无穷数列{x_n}是一个常数列，试求输入的初始值x₀的值；
（3）若输入一个正数x₀时，产生的数列{x_n}满足：任意一项x_n，都有x_n＜x_n+1，试求正数x₀的取值范围．

Answer 1

（1）当x0=

49

65

时，因为f（x）的定义域D=（-∞，-1）∪（-1，+∞），
∴x1=f(x0)=

4x0-2

x0+1

═

4×  49 65 -2

49 65 x+1

=

11

19

，
x2=f(x1)=

4x2-2

x2+1

═

4× 11 19 -2

11 19 x+1

=

1

5

，
x3=f(x2)=

4x2-2

x2+1

═

4× 1 5 -2

1 5 x+1

=-1∉D，
所以数列{x_n}只有三项 x1=

11

19

，x2=

1

5

，x3=-1．
（2）数列{x_n}是一个常数列，则有x₁=x₂=…=x_n=x₀即  x0=f(x0)=

4x0-2

x0-1

，解得：x₀=1或x₀=2，
所以输入的初始值x₀为1或2时输出的为常数列．
（3）由题意知 xn+1=f(xn)=

4xn-2

xn+1

＞xn，因x₀＞0，
∴x_n＞0，有：

4xn-2

xn+1

＞xn得4x_n-2＞x_n（x_n+1）即x_n²-3x_n+2＜0，即（x_n-2）（x_n-1）＜0
要使任意一项x_n，都有x_n+1＞x_n，须（x₀-2）（x₀-1）＜0，解得：1＜x₀＜2，
所以当正数x₀在（1，2）内取值时，所输出的数列{x_n}对任意正整数n满足x_n＜x_n+1．