Question

过点P（1，4）的直线l与两坐标轴正半轴相交，当直线l在两坐标轴上的截距之和最小时，直线l的方程是

2x+y-6=0

．

Answer 1

分析：设直线方程的截距式：

x

a

+

y

b

=1，由题意得

1

a

+

4

b

=1，由此化简直线l在两坐标轴的截距之和得a+b=（a+b）（

1

a

+

4

b

）=5+

b

a

+

4a

b

，利用基本不等式求出当且仅当

b

a

=

4a

b

时截距之和最小，即可算出相应的直线l的方程．

解答：解：设直线l的方程为

x

a

+

y

b

=1（a＞0，b＞0）
∵P（1，4）在直线l上
∴

1

a

+

4

b

=1，
可得在两坐标轴上的截距之和a+b=（a+b）（

1

a

+

4

b

）=5+

b

a

+

4a

b

≥5+2

b a • 4a b

=9
当且仅当

b

a

=

4a

b

时，即b=2a=6时，等号成立
此时的直线方程为

x

3

+

y

6

=1，化简得2x+y-6=0
故答案为：2x+y-6=0

点评：本题给经过定点的直线，求直线在轴上的截距之和最小时直线的方程．着重考查了直线的方程、直线的基本量和基本不等式求最值等知识，属于中档题．