Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
（1）求异面直线A₁D与BC₁所成的角；
（2）求证：平面ACC₁A₁⊥平面A₁BD．

Answer 1

解：（1）将A₁D平移到B₁C，
则B₁C与BC₁所成的角即为异面直线A₁D与BC₁所成的角，
而B₁C⊥BC₁
∴异面直线A₁D与BC₁所成的角为90°；
（2）∵正方体中AA₁⊥平面ABCD
∴BD⊥AC，BD⊥A₁A，AC∩A₁A=A
∴BD⊥平面ACC₁A₁
而BD?平面A₁BD
∴平面ACC₁A₁⊥平面A₁BD．
分析：（1）将A₁D平移到B₁C，根据异面直线所成角的定义可知B₁C与BC₁所成的角即为异面直线A₁D与BC₁所成的角，从而即可求出所求；
（2）欲证平面ACC₁A₁⊥平面A₁BD，根据面面垂直的判定定理可知在平面A₁BD内一直线与平面ACC₁A₁垂直，而根据线面垂直的判定定理可得BD⊥平面ACC₁A₁．
点评：本小题主要考查空间中的线面关系，考查面面垂直的判定及异面直线所成的角的计算，考查识图能力和逻辑思维能力，考查转化思想，属于中档题．