Question

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的两个焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0）（c＞0），离心率e=2，且双曲线C上的任意一点M满足||MF₁|-|MF₂||=2．
（1）双曲线C的方程；
（2）直线y=mx+1与双曲线C的左支交于不同的两点A、B，
（i）求m的取值范围；
（ii）另一直线l经过M（-2，0）及AB的中点，求直线l在y轴上的截距b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用双曲线的定义可得2a=2，再利用e=

c

a

=2，b²=c²-a²=3，即可得出b，c．
（2）（i）把直线的方程与双曲线的方程联立消去y得到关于x的一元二次方程．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），若直线与双曲线的左支交于两个不同的交点，可得

m2-3≠0 △＞0 x1+x2＜0 x1•x2＞0

解得即可；
（ii）利用（i）和中点坐标公式可得线段AB的中点，再利用点斜式即可得出直线l的方程，再利用二次函数和反比例函数的单调性就看得出截距b的取值范围．

解答：解：（1）∵双曲线C上的任意一点M满足||MF₁|-|MF₂||=2．
∴2a=2，解得a=1．
又e=

c

a

=2，解得c=2，
∴b²=c²-a²=3，
故所求的双曲线C方程为x2-

y2

3

=1．
（2）（i）由

y=mx+1 x2- y2 3 =1

消去y得：（m²-3）x²+2mx+4=0（*）   
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），若直线与双曲线的左支交于两个不同的交点
则

m2-3≠0 △＞0 x1+x2＜0 x1•x2＞0

解得  

3

＜m＜2，
（ii）由方程（*）得AB的中点坐标为(

m

3-m2

，

3

3-m2

)，
∴直线l的斜率k=

3 3-m2 -0

m 3-m2 +2

=

3

-2m2+m+6

，
其方程为y=

3

-2m2+m+6

(x+2)，

∴b=

6

-2m2+m+6

，（

3

＜m＜2），
令f（m）=-2m²+m+6=-2(m-

1

4

)2+

49

8

，在m∈(

3

，2)上单调递减，
∴0＜f(m)＜

3

．
∴b＞2

3

．
∴直线l在y轴上的截距b的取值范围是(2

3

，+∞)．

点评：本题综合考查了双曲线的定义及其标准方程性质、直线与双曲线相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、点斜式方程、二次函数和反比例函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于难题．