Question

（2009•长宁区二模）设

a

=(x，x+1)，

b

=(-x，m-2)，函数f(x)=

a

•

b

（其中m为实常数）．
（1）如果函数f（x）为偶函数，试确定函数解析式；
（2）试写出一个m的值，使函数f（x）在x∈[-2，+∞）上存在反函数，并说明理由．

Answer 1

分析：由题意，先由

a

=(x，x+1)，

b

=(-x，m-2)，函数f(x)=

a

•

b

，得出函数的解析式
（1）由函数是偶函数可得f（-x）=f（x）（或对称轴x=

m-2

2

=0），解出m的值；
（2）函数有反函数，说明函数在x∈[-2，+∞）上是单调函数，故找出可使函数是单调函数的m的取值范围，写出一个即可

解答：解：由条件得f（x）=-x²+（x+1）（m-2）=-x²+（m-2）x+m-2．
（1）因为f（x）为偶函数，所以f（-x）=f（x）（或对称轴x=

m-2

2

=0），
解得m=2，
因此函数解析式为f（x）=-x²．
（2）（说明：由

m-2

2

≤-2得m≤-2，学生只要在m≤-2内取值，能说明此时x与y一一对应或者为单调函数，都得满分）如：
取m=-3，
则f（x）=-x²-5x-5在x∈[-2，+∞）上单调，因此存在反函数．

点评：本题考点是平面向量综合题，考查了数量积的坐标表示，函数偶函数的性质，反函数的定义，解题的关键是理解题意，转化出相应的条件，第一小题关键是理解偶函数，第二小题关键是理解反函数的定义，得出函数在所给的区间上是一个单调函数，由此转化出参数所满足的条件，本题考查了转化的思想，方程的思想，考查了推理判断的能力