Question

【题目】已知四棱锥 (图1)的三视图如图2所示，为正三角形，垂直底面，俯视图是直角梯形．

图1 图2

(1)求正视图的面积；

(2)求四棱锥的体积；

(3)求证：平面.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）证明略．

【解析】

试题（1）先根据几何体的三视图得到几何体的几何特征，再求出几何体的高，进而可以求解；（2）利用四棱锥的体积公式进行求解；（3）先利用线面垂直的性质和勾股定理得到线线垂直，再利用线面垂直的判定定理进行证明．

试题解析：（1）过作，根据三视图可知，是的中点，且,.

又∵为正三角形，

∴，且，

∴.

∵平面，平面，∴.

∴，即

正视图的面积为.

（2）由（1）可知，四棱锥的高，

底面积为，

∴四棱锥的体积为.

（3）证明：∵平面，平面，∴.

∵在直角三角形中，，

在直角三角形中，，

∴，∴是直角三角形，

∴，又∵，∴平面.