Question

已知f（x）=（1+x+x²）⁴（1-x）⁹
（1）求f（x）的展开式中x³项的系数；
（2）设f（x）=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₇x¹⁷，求a₂+a₄+₆+…+a₁₆的值．

Answer 1

分析：（1）利用立方差公式1-x³=（1-x）•（1+x+x²）可将f（x）=（1+x+x²）⁴（1-x）⁹转化为f（x）=（1-x³）⁴•（1-x）⁵，可易求展开式中x³项的系数；
（2）f（x）=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₇x¹⁷，通过赋值，分别令x=1与x=-1，二者联立即可求得a₀+a₂+a₄+₆+…+a₁₆的值，再令x=0即可求得答案．

解答：解：（1）∵1-x³=（1-x）•（1+x+x²），
∴f（x）=（1+x+x²）⁴（1-x）⁹
=（1-x³）⁴•（1-x）⁵，
∴f（x）的展开式中x³项的系数为1⁴•

C

3 5

（-1）³+

C

1 4

•（-1）¹•1⁵=-14；
（2）∵f（x）=（1+x+x²）⁴（1-x）⁹=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₇x¹⁷，
∴f（1）=a₀+a₁+a₂+…+a₁₇=0；①
f（-1）=a₀-a₁+a₂-a₃+…-a₁₇=2⁹；②
∴f（1）+f（-1）=2（a₀+a₂+a₄+₆+…+a₁₆）=2⁹，
∴a₀+a₂+a₄+₆+…+a₁₆=2⁸．
又f（0）=a₀+0=1，故a₀=1，
∴a₂+a₄+₆+…+a₁₆=256-1=255．

点评：本题考查二项式定理的应用，考查二项式系数的性质，突出考转化思想与查赋值法的应用，属于中档题．