Question

已知函数 (a>0,且a≠1)，=.
（1）函数的图象恒过定点A，求A点坐标；
（2）若函数的图像过点(2,)，证明：函数在（1，2）上有唯一的零点.

Answer 1

（1）
（2）先利用已知条件求出a，在利用单调性和零点存在定理即可证明

试题分析：（1）因为对数函数恒过顶点（1,0），
所以令所以过顶点                                 5分
（2）∵  
∴代入计算可得a=2                                                         7分
∴
上的增函数和减函数
∴
∴                                      10分
又（1，2）
∴上至多有一个零点.                                            12分
而

∴函数（1，2）                                  16分
点评：指数函数和对数函数都过定点，这条性质要灵活应用；利用函数的零点存在定理时要注意它只能判断有零点，不能判断零点的个数.