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13.如图,已知多面体ABCDEF中,ABCD为正方形,EF∥平面ABCD,M为FC的中点,AB=2,EF到平面ABCD的距离为2.
(1)证明:AF∥平面MBD;
(2)若AF⊥BD,点F在平面ABCD上的射影为点C,求二面角M-BD-C的余弦值.

分析 (1)连接AC,设AC与BD交于O点,则OM∥AF,由此能证明AF∥平面MBD.
(2)由OM∥AF,得OM⊥BD,又AC⊥BD,从而∠COM就是二面角M-BD-C的平面角.由此能求出二面角M-BD-C的余弦值.

解答 解:(1)证明:连接AC,设AC与BD交于O点,
在正方形ABCD中,O为AC的中点,
∵M是FC的中点,∴OM∥AF,
∵AF?平面MBD,OM⊆平面MBD,
∴AF∥平面MBD.
(2)由(1)知OM∥AF,
∵AF⊥BD,∴OM⊥BD,
又∵在正方形ABCD中,AC⊥BD,
∴∠COM就是二面角M-BD-C的平面角.
$MC=\frac{1}{2}FC=1$,
在正方形ABCD中,$OC=\sqrt{2},OM=\sqrt{O{C^2}+C{M^2}}=\sqrt{{{({\sqrt{2}})}^2}+{1^2}}=\sqrt{3}$,
∴$cos∠MOC=\frac{OC}{OM}=\frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{3}}}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$.
∴二面角M-BD-C的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$.

点评 本题考查线面垂直的证明,考查二面角的余弦值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.

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