Question

已知点M（x，y）与两个定点O （0，0），A （3，0）的距离之比为

1

2

．
（1）求点M轨迹C的方程；
（2）在平面内是否存在异于点A的定点Q（a，b），使得对于轨迹C上任一点P，都有

|PQ|

|PA|

为一常数．若存在，求出a，b的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）设出M的坐标，利用已知条件距离之比，即可求点M轨迹C的方程；
（2）设存在定点Q（a，b），判断定点的位置在x轴上，通过

|PQ|

|PA|

为一常数．设为k，P在圆上，列出方程，推出方程组，求出a，b的值，然后求出比值．

解答：解：（1）由题意点M（x，y）与两个定点O （0，0），A （3，0）的距离之比为

1

2

得

x2+y2

=

1

2

(x-3)2+y2

，
化简得点M的轨迹方程（x+1）²+y²=4
（2）由题意可知，若存在定点，必在x轴上，设为（a，0），
由条件可得：

(x-a)2+(y-b)2

(x-3)2+y2

=k，
又点P在圆（x+1）²+y²=4上，
整理得（8k²-2-2a）x-2by+a²+b²+3-12k²=0，
因为与x，y无关，故可得

8k2-2-2a=0 2b=0 a2+b2+3-12k2=0

，
解得a=0或3（舍），
∴存在定点Q（0，0）满足条件，此时定值k=

1

2

．

点评：本题考查轨迹方程的求法，直线与圆的位置关系，存在性问题的应用，考查转化思想以及计算能力．