Question

己知S_n是等比数列{a_n}的前n项和，q≠1，a₂，a₈，a₅成等差数列，则下列选项中的数成等差数列的是（　　）

A．S₂，S₈，S₆

B．S₃，S₉，S₆

C．S₄，S₉，S₅

D．S₃，S₈，S₅

Answer 1

分析：由等比数列{a_n}中的三项a₂，a₈，a₅成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，利用等差数列的通项公式化简，根据首项及公比不为0，可得出关于q³的方程，求出方程的解得到q³的值，然后利用等比数列的求和公式分别表示出S₃，S₉，S₆，代入式子2S₉-（S₃+S₆）中，提取

a1

1-q

后括号中各项化为关于q³的式子，将q³的值代入求出其值为0，可得出2S₉=S₃+S₆，根据等差数列的性质可得出S₃，S₉，S₆成等差数列．

解答：解：∵等比数列{a_n}中，a₂，a₈，a₅成等差数列，
∴2a₈=a₂+a₅，即2a₁q⁷=a₁q+a₁q⁴，
∵a₁≠0，q≠0，
∴2q⁶-q³-1=0，即（2q³+1）（q³-1）=0，
解得：q³=-

1

2

或q³=1（而q≠1，故舍去），
∴q³=-

1

2

，
∵S_n=

a1(1-qn)

1-q

，
∴2S₉-（S₃+S₆）=

a1

1-q

（-2q⁹+q⁶+q³）
=

a1

1-q

[-2（q³）³+（q³）²+q³]
=

a1

1-q

[-2×（-

1

8

）+

1

4

-

1

2

]=0，
即2S₉=S₃+S₆，
则S₃，S₉，S₆成等差数列．
故选B

点评：此题考查了等差数列的性质，等比数列的通项公式及求和公式，熟练掌握性质及公式是解本题的关键．