【题目】已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)当函数有两个零点,求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析;(2).
【解析】分析:(1)先求导,再对a分类讨论,求函数的单调区间. (2)对a分类讨论,作出函数的图像,分析出函数f(x)有两个零点所满足的条件,从而求出a的取值范围.
详解:(1)由题意得
①当时,令,则;
令,则,
∴在上单调递减,在上单调递增;
②当时,令,则或,
(ⅰ)当时,令,则或;
令,则,
∴在和上单调递增,在上单调递减;
(ⅱ)当时,,
∴在上单调递增;
(ⅲ)当时,令,则或;
令,则,
∴在和上单调递增,在上单调递减;
(2)由(1)得当时,在和上单调递增,在上单调递减,
∴在处取得极大值,
∵,
∴此时不符合题意;
当时,在上单调递增,
∴此时不符合题意;
当时,在和上单调递增,在上单调递减;
∴的处取得极大值,
∵,
∴此时不符合题意;
当时,在上单调递减,在上单调递增,
∵,,
∴在上有一个零点,
(ⅰ)当时,令,当时,
∵,
∴在上有一个零点,
∴此时符合题意;
(ⅱ)当时,当时,,
∴在上没有零点,此时不符合题意;
综上所述,实数的取值范围为.
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【题目】某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜.过去50周的资料显示,该地周光照量(小时)都在30小时以上,其中不足50小时的周数有5周,不低于50小时且不超过70小时的周数有35周,超过70小时的周数有10周.根据统计,该基地的西红柿增加量(百斤)与使用某种液体肥料(千克)之间对应数据为如图所示的折线图.
(1)依据数据的折线图,是否可用线性回归模型拟合与的关系?请计算相关系数并加以说明(精确到0.01);(若,则线性相关程度很高,可用线性回归模型拟合)
(2)蔬菜大棚对光照要求较大,某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪,但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量限制,并有如表关系:
若某台光照控制仪运行,则该台光照控制仪周利润为3000元;若某台光照控制仪未运行,则该台光照控制仪周亏损1000元.以过去50周的周光照量的频率作为周光照量发生的概率,商家欲使周总利润的均值达到最大,应安装光照控制仪多少台?
附:相关系数公式,参考数据,.
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【题目】设函数的定义域为,若存在闭区间,使得函数满足:(1)在上是单调函数;(2)在上的值域是,则称区间是函数的“和谐区间”,下列结论错误的是( )
A.函数存在“和谐区间”
B.函数不存在“和谐区间”
C.函数存在“和谐区间”
D.函数(,)不存在“和谐区间”
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【题目】历史数据显示:某城市在每年的3月11日—3月15日的每天平均气温只可能是-5℃,-6℃,-7℃,-8℃中的一个,且等可能出现.
(Ⅰ)求该城市在3月11日—3月15日这5天中,恰好出现两次-5℃,一次-8℃的概率;
(Ⅱ)若该城市的某热饮店,随平均气温的变化所售热饮杯数如下表
平均气温t | -5℃ | -6℃ | -7℃ | -8℃ |
所售杯数y | 19 | 22 | 24 | 27 |
根据以上数据,求关于的线性回归直线方程.
(参考公式:,)
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【题目】某厂生产某产品的年固定成本为250万元,每生产千件,需另投入成本(万元),若年产量不足千件, 的图像是如图的抛物线,此时的解集为,且的最小值是,若年产量不小于千件, ,每千件商品售价为50万元,通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完;
(1)写出年利润(万元)关于年产量(千件)的函数解析式;
(2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?
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【题目】根据统计,某市骑行过共享单车的人数约占全市的80%,为确定单车的投放数量以及对同年龄的车型配比,需要对该市市民每月骑行单车的次数进行统计,如表所示是对该市随机抽取100位市民的调查结果,每月骑行次数不超过20次称“不经常骑行”,超过20次称“经常骑行”.
经常骑行 | 不经常骑行 | 合计 | |
年龄不低于40岁 | 15 | 25 | 40 |
年龄低于40岁 | 35 | 25 | 60 |
合计 | 50 | 50 | 100 |
(1)是否有95%的把握认为骑行单车次数与年龄有关?
(2)以样本的频率为概率
①现从该市市民中随机抽取1人,求该人为“经常骑行”的概率
②已知该市人口约为600万,忽略把经常骑行人数的骑行次数,统计得经常骑行人群每人每月骑行次数的平均值为45次(每月按30天计算),若每辆单车每天被骑行(15次左右,可达到既缓解交通压力又减少了胡乱放置的目的,则该市配置单车的数量应为多少?
附参考公式及数据
| 0.10 | 0.050 | 0.010 |
2.706 | 3.841 | 6.635 |
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【题目】支付宝和微信支付是目前市场占有率较高的支付方式,某第三方调研机构对使用这两种支付方式的人数作了对比.从全国随机抽取了100个地区作为研究样本,计算了各个地区样本的使用人数,其频率分布直方图如图.
(1)记A表示事件“微信支付人数低于50千人”,估计A的概率;
(2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为支付人数与支付方式有关;
支付人数<50千人 | 支付人数≥50千人 | 总计 | |
微信支付 | |||
支付宝支付 | |||
总计 |
(3)根据支付人数的频率分布直方图,对两种支付方式的优劣进行比较.
附:
P(K2≥K) | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
K | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
K2=
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