Question

已知二项式（1+2x）ⁿ（n≥2，n∈N^*）的展开式中第3项的系数是A，数列{a_n}（n∈N^*）是公差为2的等差数列，且前n项和为S_n，则

lim

n→∞

A

Sn

=

 

．

Answer 1

考点：极限及其运算

专题：等差数列与等比数列,概率与统计

分析：T3=

∁

2 n

(2x)2=4

∁

2 n

x2，A=4

∁

2 n

=2n²-2n．由于数列{a_n}（n∈N^*）是公差为2的等差数列，且前n项和为S_n，可得S_n=na₁+n²-n.

A

Sn

=

2n-2

a1+n-1

，再利用数列极限的运算法则即可得出．

解答： 解：T3=

∁

2 n

(2x)2=4

∁

2 n

x2，
∴A=4

∁

2 n

=2n²-2n，
∵数列{a_n}（n∈N^*）是公差为2的等差数列，且前n项和为S_n，
∴S_n=na₁+

n(n-1)

2

×2=na₁+n²-n．
∴

A

Sn

=

2n-2

a1+n-1

，
∴

lim

n→∞

A

Sn

=

lim

n→∞

2- 2 n

a1-1 n +1

=2．
故答案为：2．

点评：本题考查了二项式定理的通项公式、等差数列的前n项和公式、数列极限的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．