Question

已知D是函数y=f（x），x∈[a，b]图象上的任意一点，A，B该图象的两个端点，点C满足

AC

=λ

AB

，

DC

•

i

=0（其中0＜λ＜1，

i

是y轴上的单位向量），若|

DC

|≤T（T为常数）在区间[a，b]上恒成立，则称y=f（x）在区间[a，b]上具有“T性质”．现有函数：①y=2x+1；②y=

2

x

+1；③y=x²；④

OB

．则在区间[1，2]上具有“

1

4

性质”的函数为

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：由

AC

=λ

AB

，可得C点在线段AB上，由

DC

•

i

=0，可得DC垂直x轴，即C，D两点的横坐标相等，分别求出|

DC

|的长度，判断是否满足|

DC

|≤

1

4

即可得到结论．

解答： 解：由

AC

=λ

AB

，可得C点在线段AB上，由

DC

•

i

=0，可得DC垂直x轴，即C，D两点的横坐标相等．
①若y=f（x）=y=2x+1，x∈[1，2]，则A（1，3），B（2，5），函数y=f（x）的图象即为线段AB，此时|

DC

|=0≤

1

4

恒成立，∴①满足条件；
②若y=f（x）=

2

x

+1时，则A（1，3），B（2，2），线段AB的方程为y=-x+4，此时|

DC

|=-x+4-

2

x

-1=3-（x+

2

x

）≤3-2

2

，
当且仅当x=

2

时，取等号，
∵3-2

2

＜

1

4

，∴|

DC

|≤

1

4

，∴②满足条件．
③若f（x）=x²．则A（1，1），B（2，4），线段AB的方程为y=3x-2，此时|

DC

|=-x²+3x-2=-（x-

3

2

）²+

1

4

，当x=

3

2

取最大值

1

4

，
满足条件|

DC

|≤

1

4

，∴③满足条件；
④若f（x）=x-

1

x

-

3

2

x+

3

2

．则A（1，0），B（2，

3

2

），线段AB的方程为y=

3

2

x-

3

2

，
此时|

DC

|=x-

1

x

-

3

2

x+

3

2

=

3

2

-（

x

2

+

1

x

）≤

3

2

-2

x 2 • 1 x

=

3

2

-

2

，当且仅当x=

2

时，取等号，
∵

3

2

-

2

＜

1

4

，
∴满足条件|

DC

|≤

1

4

，∴④满足条件．
故答案为：①②③④．

点评：本题考查的知识点函数恒成立问题，函数的值域，正确理解“T性质”的定义，是解答的关键．综合性较强，难度交大．