Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为棱BB₁和DD₁中点．
（1）求证：平面B₁FC₁∥平面ADE；
（2）试在棱DC上求一点M，使D₁M⊥平面ADE
（3）求二面角A₁-DE-A的余弦值．

Answer 1

解：（1）证明：∵E、F分别为正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁棱BB₁和DD₁中点．
∴DF∥B₁E且DF=B₁E
∴四边形DFB₁E为平行四边形，
即FB₁∥DE，
由∵AD∥B₁C₁（2分）
又AD∩DE=D，B₁C₁∩B₁F=B₁
∴平面B₁FC∥平面ADE．（4分）
（2）证明：取DC中点M，连接D₁M，
由正方体性质可知，D₁M⊥B₁C₁，
且△DD₁M≌△C₁D₁F （5分）所以∠D₁C₁F=∠DD₁M，
又∠D₁C₁F+∠D₁FC₁=90⁰
所以∠D₁D₁M+∠D₁FC₁=90⁰
所以D₁M⊥FC₁（6分
又FC₁∩B₁C₁=C₁
∴D₁M⊥平面B₁FC₁
又由（1）知平面B₁FC₁∥平面ADE．
所以D₁M⊥平面ADE．（8分）
（3）以D为原点，端点在D的三条棱为坐标轴建立坐标系，写出要用的点的坐标，
得到，，
设平面A₁DE的法向量是，
则有2p+2r=0，
2p+2q+r=0，
令p=1，得r=-1，q=-，
∴
由（2）知平面ADE的法向量是（0，1，-2）
∴二面角的余弦值是
分析：（1）证明四边形DFB₁E为平行四边形，再利用AD∥B₁C₁，这样，面平面B₁FC内有2条相交线B₁C₁和B₁F平行于另一个平面．
（2）取DC中点M，证明D₁M⊥B₁C₁，D₁M⊥FC₁，从而D₁M⊥平面B₁FC₁，再根据平面B₁FC₁∥平面ADE，证得D₁M⊥平面ADE．
（3）以D为原点，端点在D的三条棱为坐标轴建立坐标系，写出要用的点的坐标，得到，，设出平面A₁DE的法向量，根据两个向量之间的垂直关系求出平面的法向量，另一个平面的法向量是存在于图形中，根据两个向量的夹角的余弦值做出结果．
点评：本题考查的知识点是用空间向量求平面与平面的夹角，向量语言表述线面的垂直、平行关系，其中建立空间坐标系，将空间线面的夹角及垂直、平行问题转化为向量问题是解答此类问题的关键．