Question

在某服装批发市场，季节性服装当季节即将来临时，价格呈现上升趋势，设某服装开始时定价10元，并且每周（7天）涨价2元，5周后开始保持20元的价格平稳销售，10周后，当季节即将过去时，平均每周削价2元，直到16周末，该服装已不再销售．
（1）试求价格p（元）与周次t之间的函数关系式；
（2）若此服装每周进价q（元）与周次t之间的关系是q=-

1

8

(t-8)2+12，t∈[1，16]且t∈N，试问该服装第几周每件销售利润最大．

Answer 1

分析：（1）直接由一次函数和常数函数关系列出价格p（元）与周次t之间的函数关系式；
（2）分段由p-q得到销售此服装的利润y与周次t的关系式，然后利用二次函数和一次函数的单调性分段求最大值，最后取三段中最大值的最大者．

解答：解：（1）由题意可得p=

10+2t(1≤t≤5且t∈N) 20       (6≤t≤10且t∈N) 40-2t(11≤t≤16且t∈N)

；
（2）设销售此服装每件的利润为y（元），
则y=p-q=

1 8 t2+6  (1≤t≤5且t∈N) 1 8 (t-8)2+8(6≤t≤10且t∈N) 1 8 t2-4t+46(11≤t≤16且t∈N)

．
当1≤t≤5且t∈N时，有t=5时，ymax=

73

8

当6≤t≤10且t∈N时，有t=6或t=10时，ymax=

17

2

当11≤t≤16且t∈N时，有t=11时，ymax=

57

8

综上：t=5时，ymax=

73

8

答：第5周时，每件销售利润最大为

73

8

元．

点评：本题考查了函数模型的选择与应用，考查了分段函数的最值的求法，训练了利用函数的单调性求函数的最值，是中档题．