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( 12分)如图,在四棱锥中,侧面是正三角形,底面是边长为2的正方形,侧面平面的中点.

①求证:平面
②求直线与平面所成角的正切值.

(Ⅰ)证明:见解析;(Ⅱ),即求.

解析试题分析:(Ⅰ)证明AF⊥平面PCD,利用线面垂直的判定定理,只需证明AF⊥PD,CD⊥AF即可;
(Ⅱ)证明∠PBF为直线PB与平面ABF所成的角,求出PF,BF的长,即可得出结论.
(Ⅰ)证明:如图,由是正三角形,中点,所以,又因为平面平面,

;
又底面为正方形,即
所以平面,而平面,
所以,且,
所以平面.………………6分;
(Ⅱ)由(Ⅰ)证明可知,平面,
所以平面
所以,又由(Ⅰ)知,且,
所以平面,
为直线与平面所成的角…………………9分
,易知,中,,
所以,即求.………………12分
考点:本题考查线面垂直,考查线面角,属于中档题.
点评:解题的关键是正确运用线面垂直的判定,作出线面角.

练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

图形P-ABCD中,底面ABCD是正方形,PA⊥底面ABCD,PA=AB,Q是PC中点.AC,BD交于O点.

(1)二面角Q-BD-C的大小:
(2)求二面角B-QD-C的大小.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

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(1)二面角Q-BD-C的大小:
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

(本小题满分13分)
如图,在三棱锥S-ABC中,BC⊥平面SAC,AD⊥SC.

(Ⅰ)求证:AD⊥平面SBC;
(Ⅱ)试在SB上找一点E,使得平面ABS⊥平面ADE,并证明你的结论.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

(本小题满分12分)
如图,棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F、G分别为A1D1、A1B1、BC的中点,

(1)求证:GC1//面AEF
(2)求:直线GC1到面AEF的距离。

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

在四棱锥V-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧面VAD是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD.

(Ⅰ)证明AB⊥平面VAD;
(Ⅱ)求面VAD与面VDB所成二面角的大小。

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

(本小题满分12分)如图所示,正方形和矩形所在平面相互垂直,的中点. 
(1)求证:
(2)若直线与平面成45o角,求异面直线所成角的余弦值.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

(本小题满分14分)已知梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC =∠BAD,AB=BC=2AD=4,E、F分别是AB、CD上的点,EF∥BC,AE,G是BC的中点.沿EF将梯形ABCD翻折,
使平面AEFD⊥平面EBCF (如图).
(1)当时,求证:BD⊥EG ;
(2)若以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为,求的最大值;
(3)当取得最大值时,求二面角D-BF-C的余弦值.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

直四棱柱的底面是菱形,,其侧面展开图是边长为的正方形.分别是侧棱上的动点,

(Ⅰ)证明:
(Ⅱ)在棱上,且,若∥平面,求.

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