Question

1．已知函数f（x）=sin（ωx-$\frac{π}{6}$）（ω＞0）在（0，$\frac{4π}{3}$]上单调递增，在（$\frac{4π}{3}$，2π]上单调递减，当x∈[π，2π]时，不等式m-3≤f（x）≤m+3恒成立，则实数m的取值范围为（　　）

• A． [$\frac{1}{2}$，1]
• B． （-∞，-2）
• C． [-$\frac{5}{2}$，4]
• D． [-2，$\frac{7}{2}$]

Answer 1

分析 由x=$\frac{4π}{3}$时f（x）取得最大值1，从而有8ω=12k+4，k∈Z，又由题意可得$\frac{T}{2}$≥$\frac{4π}{3}$且$\frac{T}{2}$≥$\frac{2π}{3}$，可得0＜ω≤$\frac{3}{4}$，从而可求ω的值；令t=$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{6}$，可求f（x）的值域为[$\frac{1}{2}$，1]，由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{m-3≤\frac{1}{2}}\\{m+3≥1}\end{array}\right.$，从而解得实数m的取值范围．

解答 解：由已知条件知，x=$\frac{4π}{3}$时f（x）取得最大值1，
从而有ω•$\frac{4π}{3}$-$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即8ω=12k+4，k∈Z，
又由题意可得该函数的最小正周期T满足：$\frac{T}{2}$≥$\frac{4π}{3}$且$\frac{T}{2}$≥$\frac{2π}{3}$，
于是有T≥$\frac{8π}{3}$，0＜ω≤$\frac{3}{4}$，满足0＜12k+4≤6的正整数k的值为0，
于是ω=$\frac{1}{2}$，
令t=$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{6}$，因为x∈[π，2π]，得t∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，
由y=sint，t∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，
得y∈[$\frac{1}{2}$，1]，即f（x）的值域为[$\frac{1}{2}$，1]，
由于x∈[π，2π]时，不等式m-3≤f（x）≤m+3恒成立，
故有$\left\{\begin{array}{l}{m-3≤\frac{1}{2}}\\{m+3≥1}\end{array}\right.$，
解得-2≤m$\frac{7}{2}$，
即m的取值范围是[-2，$\frac{7}{2}$]．
故选：D．

点评 本题主要考查了正弦函数的周期性和复合函数的值域，考查不等式恒成立问题的解法，考查了不等式的解法，以及推理和判断能力，属于中档题．