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    精英家教网已知在椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    中，F1（-c，0）（c＞0）是椭圆的左焦点，A（a，0），B（0，b）分别是椭圆的右顶点和上顶点，点O是椭圆的中心．又点P在椭圆上，且满足条件：OP∥AB，点H是点P在x轴上的投影．
    （Ⅰ）求证：当a取定值时，点H必为定点；
    （Ⅱ）如图所示，当点P在第二象限，以OP为直径的圆与直线AB相切，且四边形ABPH的面积等于3+
    		2
    ，求椭圆的标准方程．
    分析：（I）由kAB=-
    b
    a
    ，OP∥AB，得lOP：y=-
    b
    a
    x    ，代入椭圆方程
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    ，得x2=
    a2
    2
    ，由此能够证明为定值，点H必为定点．
    （II）当点P在第二象限，点O到直线AB的距离等于
    1
    2
    |OP|    ，由条件设直线AB的方程为：
    x
    a
    +
    y
    b
    =1    ，则点O到直线AB的距离为d=
    ab
    		a2+b2
    ，由P(-
    		2
    2
    a，
    		2
    2
    b)    ，知|OP|=
    		2a2+2b2
    2
    ，从而
    ab
    		a2+b2
    =
    		2a2+2b2
    4
    ，由四边形ABPH的面积等于3+
    		2
    ，知SABPH=S△ABO+SOBPH=
    1
    2
    ab+
    1
    2
    ×(
    		2
    2
    b+b)×
    		2
    2
    a=
    3+
    		2
    4
    ab=3+
    		2
    ．由此能够求出椭圆的标准方程．
    解答：解：（I）由kAB=-
    b
    a
    ，OP∥AB，得lOP：y=-
    b
    a
    x    ，代入椭圆方程
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    ，得x2=
    a2
    2
    ，即x=±
    		2
    2
    a    ，
    由y=-
    b
    a
    x    ，得P点的坐标为(-
    		2
    2
    a，
    		2
    2
    b)    或(
    		2
    2
    a，-
    		2
    2
    b)    ，（3分）
    ∵PH⊥x轴，∴H(-
    		2
    2
    a，0)    或H(
    		2
    2
    a，0)    ，精英家教网
    ∵a为定值，∴点H必为定点．（6分）

    （II）当点P在第二象限，以OP为直径的圆与直线AB相切，
    即等价于点O到直线AB的距离等于
    1
    2
    |OP|    ，（8分）
    由条件设直线AB的方程为：
    x
    a
    +
    y
    b
    =1    ，
    则点O到直线AB的距离为d=
    ab
    		a2+b2
    ，
    又由（I）可知P(-
    		2
    2
    a，
    		2
    2
    b)    ，所以|OP|=
    		2a2+2b2
    2
    ，
    从而
    ab
    		a2+b2
    =
    		2a2+2b2
    4
    ，即a2+b2=2
    		2
    ab    ①（10分）
    又四边形ABPH的面积等于3+
    		2
    ，
    则SABPH=S△ABO+SOBPH
    =
    1
    2
    ab+
    1
    2
    ×(
    		2
    2
    b+b)×
    		2
    2
    a=
    3+
    		2
    4
    ab=3+
    		2

    整理得ab②（12分）
    由①②解得a2=4(
    		2
    +1)    ，b2=4(
    		2
    -1)
    所以所求椭圆的标准方程为
    x2
    4(
    		2
    +1)
    +
    y2
    4(
    		2
    -1)
    =1    ．（14分）
    点评：本题考查圆与圆锥曲线的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0），其焦距为2c，若
    c
    a
    =
    		5
    -1
    2
    （≈0.618），则称椭圆C为“黄金椭圆”．
    （1）求证：在黄金椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0）中，a、b、c成等比数列．
    （2）黄金椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0）的右焦点为F2（c，0），P为椭圆C上的任意一点．是否存在过点F2、P的直线l，使l与y轴的交点R满足
    RP
    =-3
    PF2
    ？若存在，求直线l的斜率k；若不存在，请说明理由．
    （3）在黄金椭圆中有真命题：已知黄金椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1（-c，0）、F2（c，0），以A（-a，0）、B（a，0）、D（0，-b）、E（0，b）为顶点的菱形ADBE的内切圆过焦点F1、F2．试写出“黄金双曲线”的定义；对于上述命题，在黄金双曲线中写出相关的真命题，并加以证明．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知：椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0）过（0，1）点，离心率e=
    		2
    2
    ；直线l：y=kx+m（m＞0）与圆O：x2+y2=1相切，并与椭圆C交于不同的两点A、B，（O为坐标原点）．
    Ⅰ．求椭圆C的方程及m与k的关系式m=f（k）；
    Ⅱ．设＜
    OA
    ，
    OB
    ＞    =θ，且满足|
    OA|
    =
    		2
    ，|
    OB
    |=
    		10
    3
    ，cosθ=
    		5
    5
    求直线l的方程；
    Ⅲ．在Ⅱ．的条件下，求三角形AOB的面积．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知：椭圆C：
    x2a2
    +y2=1(a＞1)    的上顶点为A，左右焦点为F1，F2，直线AF2与圆M：（x-3）2+（y-1）2=3相切
    （1）求椭圆C的方程；
    （2）设椭圆C的下顶点为B，直线y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同的两点M，N，当|BM|=|BN|时，求实数m的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知过椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A，B两点，N为弦AB的中点；又函数y=asinx+3bcosx图象的一条对称轴的方程是x=
    π
    6
    ．（1）求椭圆C的离心率e与直线AB的方程；（2）对于任意一点M∈C，试证：总存在角θ（θ∈R）使等式
    OM
    =cosθ
    OA
    +sinθ
    OB
    成立．

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