Question

（2012•江西模拟）设函数f（x）=xsinx（x∈R）则f（log 

1

2

16），f（

4π

3

），f（

5π

4

）的大小关系为

f（

4π

3

）＜f（log 

1

2

16）＜f(

5π

4

)

（用“＜”连接）

Answer 1

分析：利用f′（x）=sinx+xcosx，利用f′（

4π

3

）＜0，可分析出f（x）在（π，

4π

3

]上单调递减，从而使问题解决．

解答：解：∵f（-x）=-xsin（-x）=xsinx=f（x），
∴f（x）=xsinx为偶函数．
又log 

1

2

16=log

1

2

(

1

2

)-4=-4，
∴f（log 

1

2

16）=f（-4）=f（4）；
∵f′（x）=sinx+xcosx，
∴当∈（π，

3π

2

）时，sinx＜0，cosx＜0，
∴f′（x）=sinx+xcosx＜0，
∴f（x）在（π，

3π

2

]上单调递减，
又f′（

4π

3

）=sin

4π

3

+

4π

3

cos

4π

3

=-

3

2

-

1

2

×

4π

3

＜0，
∴当

3π

2

＜x≤

4π

3

，f′（x）＜0，
综上所述，当π＜x≤

4π

3

时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（π，

4π

3

]上单调递减．
∵π＜

5π

4

＜4＜

4π

3

，
∴f（

5π

4

）＞f（4）＞f（

4π

3

）；
故答案为：f（

4π

3

）＜f（log 

1

2

16）＜f（

5π

4

）．

点评：本题考查不等式比较大小，考查导数的应用，利用导数分析得到f（x）在（π，

4π

3

]上单调递减是关键，也是难点，属于难题．