Question

观察下列等式：
（1+x+x²）¹=1+x+x²，
（1+x+x²）²=1+2x+3x²+2x³+x⁴，
（1+x+x²）³=1+3x+6x²+7x³+6x⁴+3x⁵+x⁶，
（1+x+x²）⁴=1+4x+10x²+16x³+19x⁴+16x⁵+10x⁶+4x⁷+x⁸，…
由以上等式推测：对于n∈N^*，若（1+x+x²）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_2nx²ⁿ则a₂=

 

．

Answer 1

分析：本题考查的知识点是归纳推理，我们可以根据已知条件中的等式，分析等式两边的系数及指数部分与式子编号之间的关系，易得等式右边展开式中的第三项分别为：1，3，6，10，…，归纳后即可推断出a₂的等式．

解答：解：由已知中的式了，我们观察后分析：
等式右边展开式中的第三项分别为：1，3，6，10，…，
即：1，1+2.1+2+3，1+2+3+4，…
根据已知可以推断：
第n（n∈N^*）个等式中a₂为：
1+2+3+4+…+n=

n*(n+1)

2

故答案为：

n*(n+1)

2

．

点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．