Question

已知(2-

3

x)50=a0+a1x+a2x2+…+a50x50，其中a₀，a₁，a₂…，a₅₀是常数，求：(a0+a2+a4+…+a50)2-(a1+a3+a5+…+a49)2的值．

Answer 1

分析：由题意可得a0+a1+a2+…+a50=(2-

3

)50，a0-a1+a2-…+a50=(2+

3

)50，把要求的式子用平方差公式展开，再把这两个式子代入，即可求得结果．

解答：解：设f(x)=(2-

3

x)50，令x=1，得a0+a1+a2+…+a50=(2-

3

)50，
令x=-1，得a0-a1+a2-…+a50=(2+

3

)50，
故 (a0+a2+a4+…+a50)2-(a1+a3+a5+…+a49)2=(a0+a1+a2+…+a50)(a0-a1+a2-…+a50)=(2-

3

)50(2+

3

)50=1．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于中档题．