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如图,在直角梯形ABCD中,AB⊥AD,AD=DC=1,AB=3,动点P在以点C为圆心,且与直线BD相切的圆内运动,设
AP
AD
AB
(α,β∈R),则α+β的取值范围是
 
考点:平面向量的综合题
专题:平面向量及应用
分析:建立坐标系,转为三角函数:α+β=y+
x
3
=1+
1
10
sinθ+
1
3
+
1
3
(1+
1
10
cosθ)=
4
3
+
1
3
10
cosθ+
1
10
sinθ,利用三角变换公式求解.
解答: 解:以AB为x轴,以AD为y轴,建立坐标系,
∵在直角梯形ABCD中,AB⊥AD,AD=DC=1,AB=3
∴A(0,0),D(0,1),B(3,0),C(1,1)
∴直线BD的方程为:y=-
1
3
x+1,即x+3y-3=0,
C(1,1)点到直线的距离为:
10
10

∴以点C为圆心,且与直线BD相切的圆的方程为:
(x-1)2+(y-1)2=
1
10
,x=1+
1
10
cosθ,y=1+
1
10
sinθ
设P(x,y)则:(x-1)2+(y-1)2
1
10

AP
AD
AB
,(α,β∈R),
∴(x,y)=(3β,α)
∴α+β=y+
x
3
=1+
1
10
sinθ+
1
3
+
1
3
(1+
1
10
cosθ)=
4
3
+
1
3
10
cosθ+
1
10
sinθ=
4
3
+
1
3
sin(θ+λ)
∵-
1
3
1
3
sin(θ+λ)
1
3

1<
4
3
+
1
3
sin(θ+λ)<
5
3

∴α+β的取值范围是(1,
5
3

故答案为:(1,
5
3
)
点评:本题综合考查了向量与三角函数的运用,属于中档题.
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a
2
1
+
a
2
2
+…+
a
2
n
等于(  )
A、(2n-1)2
B、
1
3
(2n-1)2
C、4n-1
D、
1
3
(4n-1)

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2
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