Question

【题目】设数列{an}的前n项和为Sn=n2 ， {bn}为等比数列，且a1=b1 ， b2（a2﹣a1）=b1 ．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式．
（2）设cn=anbn ， 求数列{cn}的前n项和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：当n=1时，a1=S1=1；

当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1，

故{an}的通项公式为an=2n﹣1，即{an}是a1=1，公差d=2的等差数列．

设{bn}的公比为q，则b1qd=b1，d=2，

∴q= ．

故bn=b1qn﹣1=1× ，即{bn}的通项公式为bn=（ ）n﹣1

（2）解：∵cn=anbn=（2n﹣1）（ ）n﹣1，

Tn=c1+c2+…+cn

即Tn=1+3× +5× +…+（2n﹣1）（ ）n﹣1，

Tn=1× +3× +5× +…+（2n﹣3）（ ）n﹣1+（2n﹣1）（ ）n，

两式相减得， Tn=1+2（ + + +…+（ ）n﹣1）﹣（2n﹣1）（ ）n

=3﹣ ﹣（2n﹣1）（ ）n

∴Tn=6﹣

【解析】（1）由已知利用递推公式an= 可得an ， 代入分别可求数列bn的首项b1 ， 公比q，从而可求bn；（2）由（1）可得cn=（2n﹣1）4n﹣1 ， 利用乘“公比”错位相减求和
【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的前n项和的相关知识，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系，以及对数列的通项公式的理解，了解如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．