Question

（1）不等式|2x-1|-|x+2|≥1的解集

(-∞，-

2

3

]∪[4，+∞)

．
（2）方程ρ=cosθ与

x=t+ 1 t y=t- 1 t

（t为参数）分别表示何种曲 线

圆，双曲线

．
（3）如图，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，PD=

2a

3

，∠OAP=30°，则CP=

9a

8

．

Answer 1

分析：（1）由|2x-1|-|x+2|≥1，利用零点分段讨论法，能够求出其解集．
（2）先把ρ=cosθ和

x=t+ 1 t y=t- 1 t

（t为参数），化成普通方程，再进行判断．
（3）利用相交弦定理和垂径定理进行求解．

解答：解：（1）在|2x-1|-|x+2|≥1中，
由2x-1=0，得x=

1

2

；由x+2=0，得x=-2．
①当x＞

1

2

时，原不等式等价于2x-1-x-2≥1，
∴x≥4．
②当-2≤x＜

1

2

时，原不等式等价于1-2x-x-2≥1，
∴-2≤x≤-

2

3

．
③当x＜-2时，原不等式等价于1-2x+x+2≥1，
∴x＜-2．
综上所述，|2x-1|-|x+2|≥1的解集是(-∞，-

2

3

]∪[4，+∞)．
故答案为：(-∞，-

2

3

]∪[4，+∞)．
（2）∵ρ=cosθ，
∴ρ²=ρcosθ，
∴x²+y²-x=0，
故ρ=cosθ是圆．
∵

x=t+ 1 t y=t- 1 t

（t为参数），
∴x2-2=t2+

1

t2

，y2+2=t2+

1

t2

，
∴x²-y²=4，
故

x=t+ 1 t y=t- 1 t

（t为参数）是双曲线．
故答案为：圆，双曲线．
（3）如图，∵AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，
它们相交于AB的中点P，PD=

2a

3

，∠OAP=30°，
∴∠OPA=90°，AP=BP=

3

2

a，
∵AP•BP=CP•DP，
∴CP=

AP•BP

DP

=

3 2 a• 3 2 a

2a 3

=

9a

8

．
故答案为：

9a

8

．

点评：第（1）题考含绝对值不等式的解法及其应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想的合理运用．
第（2）题考查参数方程的性质和应用，解题时要合理地化参数方程为普通方程．
第（3）题考查与圆有关的比例线段的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意相交弦定理和垂径定理的灵活运用．